Você sabia que o lugar geométrico das raízes é uma possibilidade usual na representação gráfica de um sistema de controle, mais precisamente dos polos em malha fechada, considerando a variação de um dos parâmetros deste sistema? Com isto, torna-se viável o projeto de um sistema de controle, permitindo, também, analisar a estabilidade e a resposta transitória do sistema controlado. Com base nessas informações, começaremos nossa análise a partir da familiarização com a representação para, em seguida, analisarmos, através de exemplos práticos, como é obtido o esboço à mão e o delineamento computacional do processo.

Visão Geral

A representação gráfica da técnica do Lugar Geométrico das Raízes utiliza, como base, a representação vetorial de números complexos. Nesse sentido, precisamos saber a distância dos polos e a distância dos zeros, bem como os ângulos formados. Além disso, cabe a utilização de software para a obtenção facilitada dessas representações. Falaremos mais sobre esse assunto adiante.

O lugar geométrico das raízes pode ser obtido por meio de uma varredura no plano s, cuja soma dos ângulos resultam em um múltiplo ímpar de 180°. Posteriormente, à mão, é feito um esboço um pouco mais simplificado para facilitar a compreensão. A utilização de assíntotas pode ser significativamente facilitadora nesse processo.

Como regras adicionais, que podem ser utilizadas para o refinamento do esboço, devemos ter atenção aos pontos de entrada e de saída do eixo real. Vale a pena lembrar que o lugar das raízes sai do eixo real em um ponto — ganho máximo, e retorna nesse mesmo eixo — ganho mínimo. Podem ser calculados, com maior precisão, os cruzamentos no eixo imaginário a partir da informação de fase.

\[/ \text{_} G\left( s \right)H\left( s \right)=\left( 2k+1 \right)180{}^\circ \]

Por fim, deve-se considerar os ângulos de partida e de chegada. Sendo assim, o ganho K será dado por:

\[K=\frac{1}{\left| G\left( s \right)H\left( s \right) \right|}=\frac{1}{M}=\frac{\mathop{\prod }_{{}}^{{}}dist\hat{a}ncias~at\acute{e}~os~polos~finitos}{\mathop{\prod }_{{}}^{{}}dist\hat{a}ncias~at\acute{e}~os~zeros~finitos}\]

Exemplos

Agora, considere a obtenção do lugar geométrico das raízes no sistema prático a seguir.

Para o sistema, o segmento do eixo real será determinado de acordo com os polos, entre -2 e -4. Em seguida, devemos nos lembrar que o lugar geométrico das raízes inicia nos polos de malha aberta e encerra nos zeros da malha fechada. Com isso, temos o seguinte esboço:

Como exemplificação, suponhamos que haja a necessidade de saber qual o ponto exato em que o lugar geométrico das raízes cruza a reta estabelecida, sendo o amortecimento 0,45. Para isso, é possível desenvolver o processo de procura computacionalmente, mas o ângulo nesse caso será:

\[\theta =180{}^\circ -co{{s}^{-1}}0,45=116,7{}^\circ \]

Através das coordenadas polares, percebemos que o ponto será: 3,4/_116,7°, com ganho de 0,417. Já para saber a faixa em que o sistema é estável, podemos considerar \(\theta =90{}^\circ \), ponto no qual os ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180°. Todavia, ao buscarmos através das coordenadas polares, percebemos que o lugar geométrico das raízes cruza o eixo imaginário, com um ganho de K = 1,5. Nesse tipo de situação, é interessante termos o auxílio de um software, pois auxiliará no projeto do sistema de controle, tornando possível sua conclusão. Vale lembrar, também, que o ganho K pode ser ajustado entre 0 e 1,5.

O processo de obtenção do lugar geométrico das raízes é relativamente simples por meio computacional. Via software MATLAB, por exemplo, pode ser feito de forma muito fácil. Considerando a seguinte função de transferência, temos:

\[G\left( s \right)~=~\frac{2{{s}^{2}}+5s+1}{{{s}^{2}}+2s+3}\]

Nesse caso, poderíamos dar os seguintes comandos: sys = tf([2 5 1],[1 2 3]); rlocus(sys). O gráfico seria gerado e, além disso, tornaria possível obter o vetor de ganhos da malha fechada e a localização das raízes complexas, como saída desta última função.

A seguir, veja como é possível utilizar a representação através do método do lugar geométrico das raízes para o projeto de um controlador P, PI, PD ou PID, atendendo às diversas especificações de projeto.

Agora, caro(a) estudante, veremos como empregar esta importante metodologia de representação na prática, aplicando os conhecimentos, até aqui adquiridos, para a elaboração do projeto de um sistema de controle. Iniciaremos com uma visão geral e, depois, apresentarei o passo a passo através de exemplos práticos. Vamos lá?

Visão Geral

O projeto de um sistema de controle, no contexto da utilização do método do lugar geométrico das raízes, poderá atender a questões específicas, como a escolha de um dado ganho adequado, considerando a especificação estabelecida para a resposta transitória do sistema, por exemplo. Todavia, devemos nos atentar para o estabelecimento de um sistema de controle que, nesse caso, estará limitado às respostas obtidas ao longo do lugar geométrico das raízes em questão. Isto ficará mais claro ao longo dos nossos estudos.

Para visualizar como se configura o avanço, suponhamos um polo, um zero e um ponto qualquer no plano complexo. Por meio da configuração dos ângulos, em que há um ângulo positivo resultante das diferenças entre eles, teremos, por consequência, um avanço de fase. Vejamos, na figura abaixo, como ficou a representação do polo e do zero do compensador através da situação descrita anteriormente.

Considera-se o desenvolvimento do projeto dada a especificação de um determinado ponto desejável para o polo do sistema. Geralmente, escolhemos, de forma arbitrária, o polo ou o zero e determinamos, a partir disso, a contribuição angular deste ponto, junto aos pontos já existentes de malha aberta — polo(s) e zero(s) do sistema controlado.

Levando em conta um compensador em atraso, o contrário irá acontecer. Esse tipo de controlador, pelo fato do módulo zero, neste caso, ser maior que o do polo, poderá, ainda, ser representado e compreendido. Além disso, possui um funcionamento semelhante a um circuito passa-baixa. O processo de compensação, nesse caso em específico, proporcionará efeitos positivos em regime permanente, embora ocorra, em alguns casos, um frequente aumento no tempo de estabilização do sistema. Vejamos, agora, o lugar geométrico das raízes, considerando a presença ou não da compensação por atraso de fase.

Por fim, temos o compensador em avanço e em atraso de fase, que atua combinando as duas ações (de avanço e de atraso de fase), objetivando o controle do sistema. A função de transferência será:

\[{{G}_{c}}\left( s \right)={{K}_{c}}\frac{\left( s+{{z}_{1}} \right)}{\left( s+{{p}_{1}} \right)}\frac{\left( s+{{z}_{2}} \right)}{\left( s+{{p}_{2}} \right)}\]

Logo, o compensador poderá ser representado da seguinte forma:

A seguir, veremos o passo a passo de como proceder com o projeto de um controlador, mais especificamente um tipo de compensador em avanço de fase, para um processo modelado a partir de uma função de transferência e com especificações práticas.

Exemplos Práticos

Considere então, como exemplo prático, que desejamos projetar um sistema de controle para a compensação de um sistema, visando aperfeiçoar o regime permanente em 10 vezes, além de considerar o fator de amortecimento em 0,174.

Tem-se, ainda, o lugar geométrico das raízes desse sistema, que pode ser visto na figura a seguir.

O primeiro passo será estabelecer o erro sem a compensação. Considerando o fator de amortecimento em 0,174, constata-se, através do lugar geométrico das raízes, que existirão os polos dominantes, \(-0,694\pm j3,926\), para um dado ganho de 164,6. O terceiro polo dominante será encontrado de forma semelhante e, para o caso apresentado, -11,61, o que resulta em um ganho Kp = 8,23, permitindo calcular o erro em regime permanente. Vale lembrar que, novamente, a utilização de software será de fundamental importância.

\[e\left( \infty  \right)=\frac{1}{1+{{K}_{p}}}=0,108\]

Uma melhoria em 10 vezes significará um erro em regime permanente de 0,0108, o que nos levaria a um ganho de:

\[{{K}_{p}}=\frac{1-0,0108}{0,0108}=91,59\]

Além disso, comparando o sistema (sem e com o compensador), a relação é proposta, permitindo estabelecer o zero do compensador em função de seu polo, ou vice-versa. Veja:

\[\frac{{{z}_{c}}}{{{p}_{c}}}=\frac{K{{p}_{comp}}}{K{{p}_{sem}}}\]

Tendo pc = 0,01, obtemos:

\[{{z}_{c}}=\frac{91,59}{8,23}{{p}_{c}}=11,13{{p}_{c}}=0,111\]

Assim, a função de transferência do compensador será:

\[{{G}_{c}}\left( s \right)=\frac{K\left( s+0,111 \right)}{\left( s+0,01 \right)}\]

Além disso, comparando o sistema compensado e o não compensado, mais especificamente o lugar geométrico das raízes do sistema em malha aberta resultante, pós-compensação, fica fácil perceber o efeito da inserção de polos e de zeros, estabelecidos através da colocação do compensador no sistema controlado. Logo, teremos:

Lembre-se que a obtenção do lugar geométrico das raízes para o sistema compensado segue os mesmos passos vistos anteriormente. Ademais, processos semelhantes poderão ser realizados para o projeto de um compensador em avanço de fase ou, até mesmo, para um compensador em avanço e em atraso. Além disso, será de fundamental importância, como você já deve ter percebido, a validação da presença do compensador, pois, em alguns casos, outros ajustes poderão ser necessários, visando ao desenvolvimento final do sistema de controle.

Iniciaremos nossos estudos a partir de uma visão geral, entendendo o desenvolvimento do diagrama, para que, posteriormente, possamos compreender, através de exemplos práticos, a justificativa para a utilização dos software como, por exemplo, a acessibilidade para a obtenção dessas análises, bem como a criação de um critério de estabilidade. Vamos lá?

Visão Geral

O Diagrama de Bode é um tipo de gráfico logarítmico utilizado para a representação de um dado sistema de controle, ou de um processo ou de uma planta, no domínio da frequência.

Na verdade, essa representação logarítmica ocorre através de duas performances que, em conjunto, denotam a resposta completa em frequência. Um Diagrama de Bode é formado a partir da resposta do módulo e da fase da função de transferência, capaz de representar matematicamente o sistema a ser estudado. Sendo uma função de transferência qualquer, será interessante transformá-la de acordo com a exemplificação a seguir, evidenciando os n polos e m zeros,

\[G\left( s \right)~=~\frac{K\left( s+{{z}_{1}} \right)\left( s+{{z}_{2}} \right)...\left( s+{{z}_{m}} \right)}{\left( s+{{p}_{1}} \right)\left( s+{{p}_{2}} \right)...\left( s+{{p}_{n}} \right)}\]

Nesse caso, K pode ser um ganho presente (ou não, em alguns casos). Além disso, representaremos o sistema em malha aberta — o motivo para essa escolha ficará claro no nosso primeiro exemplo prático do uso do Diagrama de Bode, no próximo tópico.

No domínio da frequência, podemos tornar a função escrita na forma \(G\left( j\omega  \right)\). Assim, a magnitude da resposta será:

\[magnitude~=~20log\left| G\left( j\omega  \right) \right|\]

Já a fase, por sua vez, é calculada a partir do número em sua forma complexa. O Diagrama de Bode será, ainda, o resultado de um esboço “otimizado”, frente às aproximações/referências. Como exemplo para compreensão, considere a seguinte função de transferência.

\[G\left( s \right)~=~\frac{10\left( s+3 \right)}{s\left( s+2 \right)\left( {{s}^{2}}+s+2 \right)}\]

Logo, considerando e normalizando a função, temos:

\[G\left( j\omega  \right)=\frac{3.10\left( \frac{j\omega }{3}+1 \right)}{2.2\left( j\omega  \right)\left( \frac{j\omega }{2}+1 \right)\left[ \frac{{{\left( j\omega  \right)}^{2}}}{2}+\frac{j\omega }{2}+1 \right]}=\frac{37,5\left( \frac{j\omega }{3}+1 \right)}{\left( j\omega  \right)\left( \frac{j\omega }{2}+1 \right)\left[ \frac{{{\left( j\omega  \right)}^{2}}}{2}+\frac{j\omega }{2}+1 \right]}\]

Agora, precisaremos definir as assíntotas de curvas retas, que servirão de referência para o desenho, de acordo com o formato da função. Nesse caso em específico, teremos:

\[1{}^\text{a}~ass\acute{i}ntota:~7,5;~2{}^\text{a}~ass\acute{i}ntota:~1/j\omega ;~3{}^\text{a}~ass\acute{i}ntota:~\frac{j\omega }{3}+1;~4{}^\text{a}~ass\acute{i}ntota:~\frac{1}{\frac{j\omega }{2}+1};\]

\[5{}^\text{a}~ass\acute{i}ntota:~\frac{1}{\frac{{{\left( j\omega  \right)}^{2}}}{2}+\frac{j\omega }{2}+1}\]

O próximo passo é definir as frequências de canto, pontos nos quais haverá mudanças de inclinação da curva de resposta, tanto para a magnitude quanto para a fase. Esses valores são definidos a partir dos polos e dos zeros, de acordo com o exemplo apresentado abaixo:

\[{{\omega }_{1}}=3~rad/s;~{{\omega }_{2}}=2~rad/s;~{{\omega }_{3}}=\sqrt{2}rad/s;\]

Com todos esses parâmetros, poderemos traçar as assíntotas no Diagrama de Bode, que servirão para a obtenção da curva real, tanto para a magnitude quanto para a fase. Vejamos, mais detalhadamente, no exemplo a seguir.

Cada reta corresponde a um fator da função. Traçando as assíntotas do gráfico de magnitude, nota-se que, abaixo de \(\sqrt{2}~rad/s\) ,a inclinação deverá assumir seu primeiro valor: -20 dB por década de variação da frequência. Lembremo-nos que, nesse caso, iremos contabilizar um fator 10 de variação. Por exemplo: se a frequência é 2 rad/s, logo, uma década abaixo, 0,2 rad/s, uma acima, 20 rad/s. Já entre \(\sqrt{2}\) e 2 rad/s, temos uma nova variação, em detrimento da mudança da frequência de corte e da inclinação, tornando-se -60 dB/década, entre 2 e 3 rad/s. Em seguida, passaremos para a inclinação máxima, -80 dB/década, sendo que, após 3 rad/s, a inclinação retornará para -60 dB/década. As mesmas observações são válidas com relação ao diagrama de fase, e com cada um dos fatores, para a construção da curva.

Por fim, será possível obter as curvas reais, conquistadas através da soma das curvas assíntotas, com pequenos desvios. Vejamos:

Para fatores de primeira ordem, do tipo \({{\left[ j\omega  \right]}^{\pm 1}}\), a correção sugerida para a curva real, aplicada na frequência de canto, é de 3 dB e 1 dB para as frequências, uma oitava abaixo e uma acima da frequência de canto. Já as correções para fatores de segunda ordem (ou quadráticos, como também são conhecidos), do tipo \({{\left[ {{\left( \frac{j\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}+2\varsigma \left( \frac{j\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)+1 \right]}^{\pm 1}}\), são dadas conforme o valor calculado de coeficiente de amortecimento. A título de exemplificação de estudo, esse tipo de correção pode ser visualizado com mais detalhes na referência de Ogata (2010). Todavia, para o sistema apresentado, devemos seguir o seguinte cálculo:

\[\frac{1}{\sqrt{2}/2}=0,353\]

A seguir, apresentarei exemplos práticos de como podemos utilizar o Diagrama de Bode em análises e, também, como é possível obter as importantes representações de um dado sistema qualquer através do uso de software.

Exemplos Práticos

Você deve estar se perguntando: por que representar o sistema no domínio da frequência? Outro questionamento plausível seria: por que devemos representar sua resposta e quais seriam as possíveis vantagens? A estabilidade de um dado sistema de controle, ou mesmo de um processo — característica tão desejada na prática, levando em consideração que são modelados no domínio da frequência, pode ser analisada através de ferramentas de representação gráfica da resposta do sistema. Assim, a partir da metodologia, será estabelecida as condições para a estabilidade de um sistema, como é o caso do Critério de Estabilidade de Nyquist. Logo, teremos a facilitação da análise através do Diagrama de Bode. O Critério de Estabilidade de Nyquist é estabelecido para relacionar a estabilidade de um sistema em malha fechada e sua resposta, em malha aberta, no domínio da frequência, além da posição de seus polos, em malha aberta. Portanto, correlaciona-se o conhecimento acerca da resposta em frequência, em malha aberta, para determinar questões importantes de estabilidade do sistema, em malha fechada. O Critério de Estabilidade de Nyquist também permitirá afirmar que os polos de 1 + G(s)H(s) são os mesmos que os do resultado de G(s)H(s) (a malha aberta) e que os zeros de 1 + G(s)H(s) correspondem aos polos da função de transferência em malha fechada (OGATA, 2010; NISE, 2018). Para um melhor entendimento, vejamos a figura a seguir:

Ademais, temos outro ponto importante: o Diagrama de Bode pode ser utilizado na implementação do Critério de Estabilidade de Nyquist para a análise de estabilidade de um dado sistema. Isso ocorre a partir da determinação de parâmetros importantes, como a margem de ganho e a margem de fase do sistema. A margem de ganho (\({{G}_{M}}\)) é expressa em dB, sendo definida, nesse caso específico, a partir do quanto o ganho, em malha aberta, irá variar com uma defasagem de 180°, para que o sistema, configurado em malha fechada, torne-se instável. Já a margem de fase (\({{\phi }_{M}}\)), por sua vez, é a variação da defasagem do sistema em malha aberta, considerando, como base, um ganho unitário. Esse valor é capaz de fazer com que este sistema, em malha fechada, torne-se instável (NISE, 2018). Desta forma, os parâmetros são duas medidas de estabilidade e, além disso, existe uma relação com o lugar geométrico das raízes, visto que quanto mais os polos do sistema estão distantes do eixo \(j\omega \), mais estável ele será e, por consequência, apto às variações nas margens.

Como exemplo, considere o seguinte sistema.

Logo, objetivando analisar a estabilidade, a planta a ser controlada possui a seguinte função de transferência:

\[G\left( s \right)~=~\frac{K}{\left( s+2 \right)\left( s+3 \right)\left( s+4 \right)}\]

Assim, o objetivo, será determinar uma faixa de K em um sistema estável. Partindo da determinação dos polos em malha aberta do sistema, obtemos:

\[G\left( s \right)H\left( s \right)~=~\frac{K}{\left( s+2 \right)\left( s+3 \right)\left( s+4 \right)}.1=\frac{K}{\left( s+2 \right)\left( s+3 \right)\left( s+4 \right)}\]

As raízes do polinômio do denominador são -2, -3 e -4, todas localizadas no semiplano esquerdo do plano s. Com isto, é possível afirmar que o sistema em malha aberta é estável e, pelo Critério de Estabilidade de Nyquist, sabemos, ainda, que o sistema em malha fechada será estável caso a resposta, em frequência do sistema em malha aberta, apresente ganho menor que 1, sendo a fase 180°. Portanto, o próximo passo será determinar o Diagrama de Bode para o sistema em malha aberta, tendo o ganho unitário. Logo, calculamos o valor de K, em que s = 0. Veja:

\[\frac{K}{\left( 0+2 \right)\left( 0+3 \right)\left( 0+4 \right)}=1~\to ~K~=~24\]

Desta forma, fazendo K = 24, o Diagrama de Bode começa em 0 dB e 0°. Para o esboço do gráfico de magnitude, lembre-se que a cada frequência de canto, a inclinação muda. Na 1ª frequência de canto (\(\omega =2~rad/s\)), a inclinação é modificada para -20 dB/década e mantém-se até \(\omega =3~rad/s\) (2ª frequência de canto). A partir deste ponto, a inclinação será -40 dB/década e mantém-se até \(\omega =4~rad/s\) (3ª frequência de canto), ponto onde passa a ser -60 dB/década. Para o diagrama de fase, como mencionado, a curva começará em 0° e mantém-se neste valor até uma década antes da 1ª frequência de canto (0,2 rad/s), ponto onde a inclinação se torna -45°/década, até uma década antes da 2ª frequência de canto (0,3 rad/s). Neste último, a inclinação muda -45°/década e passa a ser -90°/década até uma década antes da 3ª frequência de canto (0,4 rad/s), onde temos a maior inclinação, -135°/década. Por fim, para as décadas posteriores às frequências de canto, percebe-se, então, que em 20 rad/s a curva assume -90°/década até 30 rad/s, quando passa a ter -45°/década até 40 rad/s, quando se torna sem inclinação. O resultado do Diagrama de Bode é visto, a seguir, com a curva real e com a aproximação que utilizamos, assim como no exemplo anteriormente apresentado (ver subtópico 3.3.1).

De acordo com Nise (2018), se um contorno A — que envolve todo o semiplano da direita, for mapeado através de G(s)H(s), por conseguinte, o número de polos em malha fechada Z, no semiplano da direita, será igual ao número de polos em malha aberta P, que estão no semiplano da direita — menos o número de voltas do mapeamento no sentido anti-horário N, em torno de −1; isto é, Z = P − N.

Assim, para que o sistema seja estável, precisaremos evitar que a resposta dê voltas ao redor de -1. Em termos específicos do Diagrama de Bode, que analisa a estabilidade, percebemos que: quando a fase é -180°, temos cerca de 6 rad/s e -20 dB de magnitude, o que permite concluir que o ganho pode aumentar em até 20 dB sem que o sistema se torne instável. Sendo K = 24, no nosso caso, e o ganho de 20 dB, implica, em escala real, um ganho igual a 10. O ganho máximo para estabilidade será: 24 x 10 = 240. Assim, o sistema será estável com 0 < K < 240.

Agora, considere que você precisa determinar o Diagrama de Bode de maneira rápida. Uma opção, sem dúvida, é a utilização de software, como é o caso do Scilab. Dada a função de transferência, os seguintes comandos permitirão a obtenção do diagrama facilmente.

\[\text{s = poly(0,’s’);}\]

\[\text{num = 10*(s+3);}\]

\[\text{den = s*(s+2)*((s^2)+s+2);}\]

\[\text{t = syslin(‘c’, num/den);}\]

\[\text{clf();}\]

\[\text{bode(t,’rad’);}\]

Como último exemplo prático, apresento os possíveis passos para a obtenção do Diagrama de Bode através do MATLAB. O primeiro passo será representar a função de transferência do sistema, ainda que seu objetivo seja obtê-la de alguma outra forma. Em sequência, a partir dessa função, utilizaremos o comando e, assim, o diagrama será gerado. Logo, consideremos: num, para representar o polinômio do numerador e den para representar o polinômio do denominador:

\[\text{bode(num, den)}\]

Caso você coloque ponto e vírgula ao final, a função de transferência não será exibida na tela. Além disso, o gráfico gerado permite que você faça outras modificações, como percorrer com o cursor para ver os valores ponto a ponto, como um gráfico normal.

Um outro ponto interessante a ser considerado, levando em conta a utilização de software, é a possibilidade de obter a função de transferência de um dado sistema a partir de seu Diagrama de Bode, seguindo o caminho inverso que tomamos aqui. A seguir, você verá, através de alguns exemplos práticos, como podemos utilizar a resposta em frequência, mais especificamente através do Diagrama de Bode, para o projeto de um controlador em um sistema físico real.

Veremos, a seguir, como realizar o projeto de um controlador a partir do domínio da frequência, utilizando o Diagrama de Bode. Inicialmente, estudaremos a teoria por trás destes projetos e, em seguida, você verá um exemplo prático.

Visão Geral

Considere um compensador na forma a seguir:

\[{{G}_{c}}\left( s \right)~=~{{K}_{c}}\frac{\left( s+z \right)}{\left( s+p \right)}\]

A função de transferência pode, ainda, ser descrita em função de \(\alpha \), na distância entre o zero e o polo, e \(\tau \), na constante de tempo do sistema. Com isto, podemos notar, com certa facilidade, um possível ajuste para o controlador.

\[{{G}_{c}}\left( s \right)~=~{{K}_{c}}\frac{\left( \tau s+1 \right)}{\left( \alpha \tau s+1 \right)}\]

Logo, ajustando para \(0<\alpha <1\), em regime permanente, um compensador deste tipo poderá não ser a melhor opção para o sistema. Todavia, pode ser uma boa solução para o controle durante a resposta transitória. O Diagrama de Bode deste compensador, por sua vez, será:

A frequência máxima, \({{\omega }_{M}}\), é dada por:

\[{{\omega }_{M}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha }\tau }\]

Sendo que:

\[sen\left( {{\phi }_{M}} \right)=\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\]

Além disso, a seguinte relação é válida:

\[{{G}_{c}}\left( \infty  \right)=\frac{{{K}_{c}}}{\alpha }\]

Já para o compensador em atraso, tem-se um diagrama de Bode de acordo com a figura a seguir:

Admite-se que \(\alpha >1\). Logo, o polo, neste caso, é mais lento. Já no caso de um compensador em avanço e em atraso de fase, sua função de transferência pode ser reescrita como:

\[{{G}_{c}}\left( s \right)~=~{{K}_{c}}\frac{\left( {{\tau }_{1}}s+1 \right)}{\left( \left( {{\tau }_{1}}/\alpha  \right)s+1 \right)}\frac{\left( {{\tau }_{2}}s+1 \right)}{\left( \left( {{\tau }_{2}}/\alpha  \right)s+1 \right)}\]

De forma que \(\alpha >1~e~{{\tau }_{1}}<{{\tau }_{2}}\). Logo, o diagrama de Bode será de acordo com o exemplo a seguir:

Posteriormente, você verá, através de um dos tipos de compensadores, como projetamos o controlador, dadas as especificações, através do Diagrama de Bode. Sendo assim, consideramos como base a questão da localização dos polos e dos zeros, além da resposta do sistema.

Exemplos Práticos

A título de exemplificação, iremos pressupor que projetaremos um controlador em atraso de fase para o sistema em malha fechada unitária de controle de uma planta com a seguinte função de transferência:

\[G\left( s \right)=\frac{100K}{s\left( s+100 \right)\left( s+36 \right)}\]

e o controlador do tipo:

\[C\left( s \right)={{K}_{c}}\frac{\left( s+z \right)}{\left( s+p \right)},\left| z \right|>\left| p \right|\]

Várias especificações práticas podem ser atendidas, mas para fins de comparação, vamos considerar que nesse sistema, em específico, desejamos determinar um ganho K, almejando a melhoria da resposta transitória do sistema, para que, ao final, fosse obtido um sobressinal de 9,5% para entrada degrau. O compensador deve funcionar para que o sistema mantenha 9,5% de sobressinal, mas, neste caso, desejamos que o erro, em regime permanente, seja 10 vezes melhor. O primeiro passo será determinar K, considerando fatores facilitadores, como estabelecer a resposta do sistema, iniciando em 0 dB em 0,1 rad/s, sendo que nos preocuparemos apenas com as frequências acima desse valor. Fazendo K = 3,6 e as condições apresentadas para facilitar os cálculos em malha aberta, teremos:

\[G\left( s \right)~=~\frac{100.3,6}{s\left( s+100 \right)\left( s+36 \right)}=\frac{360}{s\left( s+100 \right)\left( s+36 \right)}\]

Passando para a interpretação acerca das especificações para a resposta transitória do sistema, é possível concluir que:

\[\varsigma =\frac{-ln\left( sobressinal/100 \right)}{\sqrt{\pi {}^\text{2}}+ln{}^\text{2}\left( sobressinal/100 \right)}\to \varsigma \approx 0,6\]

Em seguida, passamos para o cálculo da margem de fase correspondente, com este amortecimento. Nesse caso, obtém-se:

\[{{\phi }_{M}}=t{{g}^{-1}}\left( \frac{2\varsigma }{-2{{\varsigma }^{2}}+\sqrt{1+4{{\varsigma }^{4}}}} \right)\to {{\phi }_{M}}\approx 59,2{}^\circ \]

Assim, a resposta do sistema em malha aberta, será:

Agora, buscaremos, no Diagrama de Bode, para qual frequência é estabelecida a fase de 59,2°, sendo que este cálculo deve ser feito tomando 2180° - \({{\phi }_{M}}\), resultando em 2120,8°. A frequência, que gera esta margem, pode ser calculada pela seguinte relação, onde obtemos 14,8 rad/s:

\[/ \text{_} G\left( j\omega  \right)=-90{}^\circ -t{{g}^{-1}}\frac{\sqrt{-2{{\varsigma }^{2}}+\sqrt{4{{\varsigma }^{4}}+1}}}{2\varsigma }\]

Outrossim, ao projetar no gráfico a magnitude, vemos que será 244 dB, porém para que tenhamos a margem de fase requerida, adotaremos 0 dB a partir do deslocamento promovido pelo ganho K estabelecido, assim como o sobressinal desejado, de 9,5%. Ou seja:

\[20log\left( x \right)~=~44~dB~\to ~x\approx 162\]

K = 3,6.162 = 538,2

A função de transferência em malha aberta será:

\[G\left( s \right)~=~\frac{53820}{s\left( s+100 \right)\left( s+36 \right)}\]

O resultado obtido pode ser visto pelo seguinte Diagrama de Bode:

Agora, de fato, obteremos a função de transferência do compensador para que, posteriormente, possa ser validado e, então, implementado. Com a solicitação apresentada do erro de regime permanente, o seguinte ganho é encontrado.

\[{{K}_{v}}=\frac{53820}{s\left( 0+100 \right)\left( 0+36 \right)}=1~\to ~{{K}_{v}}=16,2\]

Mas, com a melhoria de 10x do erro de regime permanente, conclui-se que Kv= 162. Logo, em malha aberta, tem-se que:

\[G\left( s \right)=\frac{5382}{s\left( s+100 \right)\left( s+36 \right)}\]

E, em malha fechada, temos:

\[G\left( s \right)=\frac{538200}{s\left( s+100 \right)\left( s+36 \right)}\]

Como o erro em regime permanente melhorará em 10 vezes, a margem de fase deve ser aumentada em um fator de 10. Sendo assim: 59,2° + 10° = 69,2°. A frequência correspondente deve ser encontrada: 2180° - 69,2° = 2110,8°, o que resulta em 9,8 rad/s, aproximadamente. Em seguida, estabelece-se um ganho para que, a essa frequência, o diagrama de magnitude esteja em 0 dB. Portanto, conclui-se que o compensador em projeto deverá ser capaz de fornecer 224dB para atenuação da curva de magnitude, passando de 9,8 rad/s para 0 dB.