O sistema de coordenadas são importantes para determinar a posição de um ponto no espaço em relação a um dado referencial. O caso mais simples de um sistema de coordenadas é identificar um ponto sobre uma linha real utilizando o eixo dos números reais.

Nesta construção, dado um ponto arbitrário O posicionado sobre a reta real, o qual constitui a origem do eixo coordenado, a posição de qualquer ponto P desta reta é definida por sua coordenada. A figura 1.1 mostra a reta coordenada, onde a distância ao ponto P pode ser positiva ou negativa dependendo de qual lado o ponto se encontra com relação a posição da origem - pontos localizados à esquerda do ponto de origem O são, por construção, considerados negativos, e a direita positivos. Outro aspecto importante desse sistema de coordenadas é o de que cada ponto na reta é identificado unicamente por uma coordenada.

De forma análoga a reta coordenada em uma dimensão, para se determinar a posição de um ponto sobre uma superfície plana em duas dimensões, utiliza-se o plano cartesiano ortogonal. Esse sistema de coordenadas é definido por dois eixos coordenados ortogonais, como mostra a figura 1.2, os quais se cruzam no ponto de origem. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes como mostrado na figura 1.2. Assim, uma vez estabelecido o sistema de coordenadas cartesianas, a posição de um ponto pertencente a este plano será definida por um único par de coordenadas \(\left( x,y \right)\), onde \(x\) pertence ao eixo da abscissa, e \(y\) ao eixo da ordenada.

A figura mostra as coordenadas de 4 pontos no plano: (2,3), (-3,1), (-4,2) e (2,-2) localizados no \(1{}^\text{o}\), \(2{}^\text{o}\), \(3{}^\text{o}\) e \(4{}^\text{o}\)quadrante respectivamente.

Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B no plano cartesiano, é possível calcular a distância \(d\left( A,B \right)\) entre os dois pontos. Desse modo, sejam as coordenadas do ponto A dadas por (\(x1,y1\)) e B por \(\left( x2,y2 \right)\), a distância entre os pontos é  dada pela hipotenusa  do triângulo retângulo formado como mostra a figura 1.3, e pode ser calculada através do teorema de pitágoras da seguinte forma:

\(d\left( A,B \right)=\sqrt{{{\left( x2-x1 \right)}^{2}}+{{\left( y2-y1 \right)}^{2}}}\)

A distância entre os pontos \(d\left( A,B \right)\) é dado pelo valor da hipotenusa formado pelo triângulo retângulo no gráfico.

Como ficará claro nas seções seguintes, sistemas de coordenadas como o plano cartesiano estão presentes em diversas aplicações em física e matemática, tornando se também um instrumento importantes para diversas aplicações em computação gráfica.

Muitas vezes, ocorre que o valor de uma quantidade depende do valor de outra quantidade. A relação entre tais quantidades é dada por uma função. Assim, uma variável \(y\) é uma função de outra variável \(x\), \(\left[ y=f\left( x \right) \right]\), se a cada valor do domínio de \(x\) corresponde a um único valor no conjunto da variável \(x\). Desse modo, considera-se que o número real \(y\) no conjunto \(Y\) como uma função do número real \(x\) no conjunto \(X\) se houver uma regra pela qual um valor específico de \(y\) seja atribuído a um valor de \(x\) como ilustra a figura 1.4.

Definição: Uma função é um conjunto de pontos \(\left( x,y \right)\) onde ao se comparar quaisquer pares ordenados distintos de \(f\), nenhum terá o mesmo valor para o primeiro número \(x\). O conjunto dos valores de \(x\) é chamado de domínio da função, e o conjunto dos valores de \(y\) é chamado de imagem da função.

Essa definição assegura que \(y\) seja único para valores específicos de \(x\), o que garante que \(y\) seja uma função unívoca ou univalente de \(x\).

Os números \(x\) e \(y\) são variáveis, onde \(x\) é denominado variável independente e \(y\), a variável dependente a qual depende \(x\). O conceito de função como um conjunto de pares ordenado  permite construir a seguinte definição para o gráfico de uma função.

Definição: Se \(f\) for uma função, então o gráfico de \(f\) será o conjunto dos pontos \(\left( x,y \right)\) no plano R2 para os quais \(\left( x,y \right)\) é um par ordenado de \(f\).

Lembre-se de que para uma função é preciso existir exatamente um valor da variável dependente para cada valor da variável independente. Em termos geométricos isso significa que ao se traçar uma reta vertical, o gráfico de uma função pode ser interceptado em no máximo um ponto. Observe que essa situação é verificada no gráfico da função na Fig. 1.5.

Observe que a linha vertical no gráfico intercepta o gráfico da função em um único ponto marcado em vermelho. Quando uma função é definida, o domínio da função deve ser dado explicitamente. Por exemplo se \(f\left( x \right)\) é uma função definida por:

\[f\left( x \right)~=~\frac{5x-2}{x+4}\]

isso implica que o conjunto \(x~\ne ~-4\), pois o quociente não está definido para \(x~=~-4\), logo o domínio de  \(f\left( x \right)\) é o conjunto de todos os números reais exceto -4.

Subsequentemente, é possível definir operações com funções. Neste processo novas funções são formadas a partir de funções conhecidas através das quatro operações; soma, subtração, multiplicação e divisão.

Definição: Dadas duas funções \(f\left( x \right)\) e \(g\left( x \right)\):

Para cada caso, o domínio da função resultante consiste nos valores de x comuns aos domínios de \(f\left( x \right)\) e \(g\left( x \right)\). Para o caso (iv) os valores de x onde \(g\left( x \right)=0\)  são excluídos.

Outra operação importante consiste em obter a função composta de duas funções dadas. Essa operação é definida como:

Definição: Dadas duas funçõe s \(f\left( x \right)\) e \(g\left( x \right)\), a função composta denotada por \(f~\circ ~g\), é definida por

\[\left( f~\circ ~g \right)\left( x \right)=~f\left( g\left( x \right) \right)\]

onde o domínio de \(f~\circ ~g\) é o conjunto de todos os números x no domínio de \(g\) tal que \(g\left( x \right)\) esteja no domínio de \(f\) .

Como indica a definição, para calcular \(f~\circ ~g\), primeiro aplica-se a função \(g\) a \(x\) e em seguida a função \(f\) a \(g\left( x \right)\).

A análise do movimento de um corpo físico é um problema fundamental em física. Das nossas experiências diárias, nos reconhecemos que o movimento é a mudança continua na posição de um objeto. Desse modo, se uma partícula está se movendo de uma posição inicial \({{x}_{0}}~\) para uma posição final \({{x}_{1}}\), é possível determinar a distância percorrida por um objeto através da diferença entre a posição final e a posição inicial na forma,

\[\Delta x={{x}_{1}}-~{{x}_{0}}\]

dessa definição, quando é atribuído os valores às posições \({{x}_{0}}\) e \({{x}_{1}}\), o deslocamento será positivo quando seu sentido for para a direita onde \({{x}_{1}}>{{x}_{0}}\), como ilustra a Fig. 1.8. Da mesma forma um deslocamento no sentido oposto, para a esquerda, onde \({{x}_{1}}<{{x}_{0}}\) resultará em um deslocamento negativo. Para exemplificar, imagine uma partícula que se move de \({{x}_{0}}=2m\) para =\({{x}_{1}}=10m\), seu deslocamento será \(\Delta x=10-2=+8m\), o resultado positivo indica que o deslocamento e no sentido positivo. Do mesmo modo, se a partícula se move de \({{x}_{0}}=15m\) para \({{x}_{1}}=-3m\), \(\Delta x=-3-15=-18m\), onde o resultado negativo indica que o movimento é para a esquerda.

Além da distância percorrida por um objeto, outra quantidade importante para o estudo do movimento é uma quantidade chamada deslocamento. Essa grandeza envolve apenas as posições inicial e final do objeto. Assim, por exemplo, imagine que um atleta de corrida que se move da posição \(x=10m\) para \(x=210m\) e , em seguida, volta para a posição \(x=10m\), o deslocamento desse atleta é \(D=10m-10m=0m\) mesmo tendo percorrido um percurso total de \(400m\).

Nesta seção, para simplificar a discussão, será considerado apenas o movimento em uma dimensão, como por exemplo o movimento de um automóvel em uma linha reta como ilustra a figura 1.6.

Para descrever o movimento é necessário adotar um referencial a partir do qual o movimento é descrito em relação a esse referencial. No caso do movimento unidimensional, o referencial é simplesmente uma reta orientada onde uma origem é escolhida. Neste referencial a posição de um corpo em movimento no instante \(t\) é descrita pelo valor da coordenada abscissa correspondente \(x\left( t \right)\).

De forma exemplificada, se considerarmos um carro em movimento em linha reta ao longo de uma estrada, \(x\left( t \right)\) é a posição ocupada pelo parachoque dianteiro do veículo no instante \(t\), é possível determinar a função \(x\left( t \right)\) através da medida da posição do automóvel em intervalos de tempo definidos \(\Delta t\). Pode-se assim obter o valor de x nos instantes \(0,~\Delta t,~2\Delta t,...\), de modo construir a tabela horária do movimento do tipo.

Da tabela horária é possível determinar a velocidade média do movimento que é definida por:

\[v~=~\frac{\Delta x}{\Delta t}~=~\frac{x\left( {{t}_{2}} \right)~-~x\left( {{t}_{1}} \right)}{{{t}_{2}}~-~~{{t}_{1}}}\]

ou seja, é a razão entre a distância percorrida \(\Delta x\) pelo veículo e o intervalo de tempo que o leva para essa distância percorrida ser produzida.

A velocidade média é medida em unidades de \(m/s\), no sistema internacional,  ou \(km/h$\) conforme o problema em questão. Perceba que \(v\) pode ter valores positivos ou negativos. Avaliando a equação da velocidade média \(v~<~0\) quando \(\Delta x~<~0~\) ou seja quando o movimento se dá no sentido dos \(x\) decrescentes (o veículo está em marcha à ré).

Em seguida, para as situações onde a velocidade do automóvel varia aumentando ou diminuindo o seu valor durante um intervalo de tempo \(\Delta t\), esse movimento é tido como um movimento acelerado, e a aceleração média é definida como:

\[a=\frac{v\left( {{t}_{2}} \right)~-~v\left( {{t}_{1}} \right)}{{{t}_{2}}~-~{{t}_{1}}}=~\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

essa fórmula indica que a aceleração é medida em unidades de \(m/{{s}^{2}}\) e mede a rapidez com que a velocidade varia em um dado intervalo de tempo.

Assim é comum dizer por exemplo que um veículo tem boa aceleração se ele é capaz de acelerar de \(0\) a \(30m/s\) em 3 segundos como ilustra a figura 1.7. Conforme esse experimento a aceleração média do veículo é de \(10m/{{s}^{2}}\), o que significa que a variação da velocidade do carro entre \(0\) e \(3s\) é de \(10m/s\) a cada 1 segundo.

Através da equação da aceleração é possível observar que a aceleração é positiva quando a velocidade cresce no intervalo de tempo (carro acelerando), e negativa quando decresce (frenagem do carro).

Nosso objetivo neste tópico é estudar o movimento retilíneo uniforme. Para isto, primeiro vamos trabalhar com os conceitos sobre funções afins e suas propriedades.

Funções Afim

A função afim, também denominada de função polinomial de 1º grau, é uma função \(f\) a qual é definida como:

Definição : É chamada função afim toda toda função polinomial de 1º grau na forma.

f) \[f\left( x \right)~=~ax+b\]

sendo \(a\) e \(b\) números reais .

Neste tipo de função, o número \(a\) é  denominado coeficiente angular, e representa a inclinação da reta ou a taxa de crescimento ou variação da função. E \(b\) é chamado coeficiente linear e representa o ponto onde a reta intercepta o eixo \(y\) sendo também denominado por intercepto \(y\) da reta. A Fig. 1.8 trás graficamente a função de uma reta com o significado dos coeficiente \(a\) e \(b\).

O significado geométrico do coeficiente angular \(a\) e do coeficiente linear \(b\) são mostrado na figura. Agora será ilustrado alguns casos particulares da função afim com respeito aos valores adotados para as constantes \(a\) e \(b\).

Para o caso onde \(a\ne 0\) e \(b=0\) tem-se a chamada função linear. Seu gráfico intercepta a origem do plano cartesiano como ilustra a Fig. 1.9-A, onde temos o gráfico da função \(f\left( x \right)~=~2x\)

Para o caso onde \(a=0\) e \(b\ne 0\) tem-se a chamada função constante. Seu gráfico será sempre uma reta paralela ao eixo \(x\) e que intercepta o eixo \(y\) num ponto \(b\). A Fig. 1.9-B-  mostra  o gráfico da função \(f\left( x \right)~=~2\).

Observe o gráfico de uma função afim \(f\):

Sabemos que toda função afim é escrita na forma \(y=ax+b\). Então, através do gráfico ( Figura 1.10), podemos determinar os valores dos coeficientes \(a\) e \(b\) e a lei de formação da função \(f\).

Com efeito, conseguimos identificar os pontos \(\left( 2,0 \right)\) e \(\left( 0,2 \right)\) na Figura 1.10. Substituindo esses valores na fórmula geral \(f\left( x \right)=y\), temos:

1. \(0=f\left( 2 \right)=a.2+b\Rightarrow 2a+b=0\) ;
2. \(2=f\left( 0 \right)=a.0~+~b\Rightarrow b=2\).

Substituindo 2. em 1., obtemos \(a=~-1.\)

Logo, a lei de formação da função afim descrita graficamente pela Figura 1.13 é dada por \(f\left( x \right)=~-x+2\).

O movimento mais simples é o movimento retilíneo uniforme onde a velocidade do corpo em movimento é constante. Esse movimento se caracteriza pelo fato de que percurso ou caminho percorrido iguais \(\Delta x~=~{{x}_{4}}~-{{x}_{3}}~=~{{x}_{2}}~-~{{x}_{1}}\) são descritos em intervalo de tempos iguais \(\Delta t~=~{{t}_{4}}~-{{t}_{3}}~=~{{t}_{2}}~-~{{t}_{1}}\). Isso implica que a função horária da posição é descrita por uma função afim na forma.

\[x\left( t \right)=at+b\]

onde como mostra a Figura 1.11, o coeficiente angular da reta \(a\) no gráfico \(x\left( t \right)\) versu \(t\) é idêntico a velocidade média \(v=~\Delta x/\Delta t\).

Em seguida considerando que no instante inicial do movimento, \({{t}_{0}}\), o veículo ocupa a posição \({{x}_{0}}\) chegaremos a conclusão que o coeficiente linear \(b={{x}_{0}}\) resultando na seguinte função horária para o movimento retilíneo uniforme.

\[x\left( t \right)={{x}_{0}}+v\left( t-{{t}_{0}} \right)\]

Com essa função é possível calcular a posição que veículo irá ocupar em instantes de tempo futuros, e desse modo determinar a sua trajetória.