Você já estudou sobre os sistemas por unidades — pu? Vamos nos aprofundar no assunto? Robba et al. (2000, p. 106) definem os valores percentuais, também chamados de valores pu, por unidade (lemos a letra “p” e depois a letra “u” — não é habitual ler tudo junto, pronunciando “pu”), como “valores que correspondem a uma mudança de escala das grandezas principais em sistemas elétricos: tensão, corrente, potência e impedância”. Esses valores são usados em SEP, ao invés dos valores reais das tensões, das correntes e das potências, pois esses valores são expressos através de números muito altos, da ordem de k (10³) ou M (10⁶) e os valores das impedâncias das linhas são dados em m (10^-3).

Logo, para evitar a todo esse cálculo, temos que nos preocupar com o fato de estarmos calculando valores de corrente, ou outra grandeza qualquer, para o lado da alta tensão ou da baixa tensão do transformador ou, ainda, se o transformador é abaixador ou elevador de tensão. Sendo assim, utilizaremos os valores em pu, que são geralmente referenciados como 1,0 ∠ 0º, para a tensão da geração. Por conseguinte, vamos analisar a distribuição da matriz energética brasileira e, por fim, recordar as grandezas utilizadas em sistemas elétricos de potência.

Matriz Energética Brasileira

A geração de energia elétrica precisa acontecer perto das fontes geradoras de energia, a exemplo das quedas d’água, da velocidade de vento adequada, da disponibilidade de gás natural ou combustível fóssil, da biomassa etc. Não podemos criar energia apenas transformando uma forma de energia em outra. Essa lei é conhecida como a Lei de Conservação de Energia ou 1ª Lei da Termodinâmica. Na realidade, o sistema elétrico transforma energia de uma fonte mecânica, como a hidráulica, a eólica ou a térmica, em energia de matriz elétrica.

Apesar de termos uma matriz predominantemente hidrelétrica, o ano de 2021, por ter sido o ano com a maior crise hídrica dos últimos 91 anos, foi considerado atípico, porque não teve a predominância dessa matriz na geração de energia como em todos os anos anteriores. O ONS (Operador Nacional do Sistema) teve que acionar a geração térmica com base nas energias não-renováveis — como o petróleo e o carvão, e nas energias renováveis — como a biomassa (bagaço da cana-de-açúcar) para suprir a energia consumida pelos brasileiros. O problema da matriz hidrelétrica é que essa fonte de energia compete com o suprimento de água para irrigação de plantas e consumo animal, além da consumação humana em época de poucas chuvas.

Segundo a EPE (Empresa de Pesquisa Energética), a matriz elétrica brasileira, em 2020, com dados do BEN (Balanço Energético Nacional) é retratada pelo Quadro 1.1.

Se o Quadro 1.1 fosse representado através de um gráfico, teríamos a imagem mostrada pela Figura 1.1.

Agora que já sabemos como a energia elétrica é gerada, analisaremos, a seguir, como a energia é representada através das grandezas de tensão, de corrente e de potência.

Grandezas Utilizadas em Sistemas Elétricos de Potência

O sistema de geração de energia é trifásico, simétrico e equilibrado, ou seja, as usinas de geração reproduzem energia em tensões, com valores de 13,8 kV (geralmente), além das fases chamadas de A, B e C, defasadas entre si, com 120º graus elétricos — em SEP sempre utilizamos graus e não radianos. Portanto, as tensões são chamadas de 𝓋A, 𝓋B e 𝓋C e são representadas matematicamente por:

𝓋A = EM cos (𝜔 t), 𝓋B = EM cos (𝜔 t - 120º) e 𝓋C = EM cos (𝜔 t + 120º)        (Equação 1.1)

Onde:

• E = \(\frac{{{E}_{M}}}{\sqrt{2}}\)= é o valor eficaz da tensão e EM (chamado de valor de pico) é o valor máximo da tensão, ou seja, é o valor da tensão quando cos (𝜔 t) = 1.

Graficamente, as tensões podem ser representadas pela Figura 1.2. Quando escrevemos 𝓋A, estamos nos referindo a um valor de tensão que sai do zero, atingindo o seu valor máximo positivo, invertendo o sentido da senoide, passando por zero, atingindo o seu valor máximo negativo, invertendo novamente o seu sentido e voltando ao zero. Essa sequência constitui o ciclo da senoide.

Quando essas tensões são equilibradas, ou seja, no momento em que possuírem o mesmo valor máximo e forem defasadas entre si, em 120º, dizemos que o sistema é trifásico, simétrico e equilibrado. Quando os valores de pico das tensões são diferentes, dizemos que o sistema está desequilibrado. Por outro lado, quando os ângulos forem diferentes de 0, - 120º e 120º, dizemos que o sistema é assimétrico. Em todos esses casos, o sistema estará desequilibrado. Geralmente, o SEP é simétrico e equilibrado na geração e nas linhas de transmissão, mas as cargas, por serem diferentes entre si, são assimétricas e desequilibradas. A multiplicação fasorial da tensão pela corrente resulta na potência complexa, podendo ser definida como:

S = V * I = \(\left| S \right|\angle \)𝜑 º        (Equação 1.2)

Sendo:

O cos 𝜑 é chamado de fator de potência e é uma grandeza adimensional (sem unidade). Quando escrevemos a potência aparente na forma retangular, temos a potência complexa:

S = S cos 𝜑 + j S sen 𝜑 = P + j Q

Onde:

P = S cos 𝜑 e Q = S sen 𝜑        (Equação 1.3)

Sendo:

• P a potência ativa dada em Watt (W);
• Q a potência reativa dada em Volt-Ampère reativo (VAr).

A unidade, que vem acompanhando da potência, define o tipo de potência que está sendo tratado. Para entendermos melhor as definições de potência, vamos comparar as potências a um copo de chope. O copo – recipiente onde o chope é colocado — seria comparado à potência aparente, a energia gerada pelo SEP, produzida pelas usinas. A parte líquida, em amarelo, assemelha-se à potência ativa — parte efetivamente transformada em trabalho a partir da energia elétrica. Já a espuma, a parte branca do chope, poderia ser equiparada à potência reativa — energia necessária para manter o campo girante das máquinas em funcionamento, presente em toda transformação de energia elétrica em outra forma de energia como, por exemplo, a energia necessária para dar o torque ou a força que o elevador precisa para nos transportar de um andar a outro. Essa associação está retratada na Figura 1.3.

Mas, ao contrário dos(as) proprietários(as) de bares, que geralmente costumam servir os copos de chope com muita espuma, o SEP não pode permitir que a energia elétrica gerada na usina seja desperdiçada. Por esse motivo, a quantidade de espuma, chamada de energia reativa, é regulada. Essa quantidade é definida como o cosseno de 𝜑, grandeza adimensional que, no Brasil, é regulamentada com um valor mínimo igual a 0,92. Como você já percebeu, a potência aparente pode, também, ser representada através de um triângulo retângulo, fazendo uso do Teorema de Pitágoras, conforme ilustrado na Figura 1.4, com as relações entre as potências dadas por:

S = \(\sqrt{{{P}^{2}}~+~{{Q}^{2}}}\)

𝜑 = arc tg \(\left( \frac{cateto~oposto}{cateto~adjacente} \right)\)= arc tg \(\frac{Q}{P}\)        (Equação 1.4)

Onde arc é o termo em inglês para arco, mas, nesse caso, o termo é melhor traduzido por ângulo.

Com base na potência aparente, os consumidores são separados em grupos e tarifados conforme seu consumo.

• Residenciais: pagam somente a energia ativa.
• Comerciais: pagam a energia ativa, caso seus medidores sejam antigos. Esses consumidores possuem os Smart Meter. Logo, pagam uma multa se o seu fator de potência for inferior a 0,92.
• Industriais: pagam além da energia ativa. Ademais, podem sofrer multa pelo baixo fator de potência, além da imposição de uma outra tarifa, dada em função da demanda.

Agora que relembramos as grandezas e os conceitos utilizados para definir a potência aparente, a potência ativa e a potência reativa, além do fator de potência, vamos estudar como relacionamos essas grandezas através dos valores.

Valores PU em um Diagrama Elétrico

Os valores pu são definidos por Robba et al. (2000, p. 106) como “uma simples mudança de escala nas grandezas principais (tensão, corrente, potência e impedância)”. Sendo assim, utilizamos as relações entre as grandezas, dadas por:

V = Z * I

S = V * I        (Equação 1.5)

A 1ª relação é dada pela Lei de Ohm e escrita na forma de tensão. Consequentemente, a 2ª relação é dada através da definição de potência aparente. Portanto, precisamos somente definir duas grandezas — geralmente escolhemos as grandezas de tensão e potência aparente para podermos calcular as outras duas grandezas em pu. Na equação (1.5), podemos calcular os outros dois valores de bases: da corrente e da impedância. Logo, matematicamente, podemos adotar os valores de tensão de base (V\(_{\text{base}}\)) e de potência aparente de base (S\(_{\text{base}}\)) como sendo iguais a:

V\(_{\text{base}}\) = V\(_1\) e S\(_{\text{base}}\) = S\(_1\)        (Equação 1.6)

Deste modo, qualquer tensão pode ser expressa por:

v% = \(\frac{V}{{{V}_{base}}}\)x 100 (v percentual)

v = \(\frac{V}{{{V}_{base}}}\) (v por unidade)        (Equação 1.7)

Podemos estender esse raciocínio para a potência aparente. Logo, teremos:

s% = \(\frac{S}{{{S}_{base}}}\)x 100 (s percentual)

s = \(\frac{S}{{{S}_{base}}}\) (s por unidade)        (Equação 1.8)

Como a corrente é obtida através da relação de potência aparente, temos:

I\(_{\text{base}}\) = \(\frac{{{S}_{base}}}{{{V}_{base}}}\)        (Equação 1.9)

Já a impedância é obtida através da lei de Ohm, onde:

Z\(_{\text{base}}\) = \(\frac{{{V}_{base}}}{{{I}_{base}}}\) = \(\frac{V_{base}^{2}}{{{S}_{base}}}\)        (Equação 1.10)

Portanto, para obtermos os valores pu da tensão, da potência aparente, da corrente e da impedância, precisamos somente conhecer dois desses quatro valores. Os outros dois valores calcularemos baseados nas duas grandezas conhecidas. Quando o valor da potência aparente de base não for informado, subentende-se que esse valor seja igual a 100 MVA (valor adotado como padrão em SEP).

Agora, aprofundaremos nossos conhecimentos nas mudanças de base. As máquinas elétricas, como os transformadores de potência e os geradores, sempre apresentam sua impedância, dada em valores pu, no datasheet (folha de dados) dos equipamentos.

À vista disso, podemos utilizar somente os valores de impedância do transformador e realizar uma mudança de base, entre seu lado primário e seu lado secundário, caso seja representado por uma impedância. Sendo assim, conforme o transformador abaixa ou eleva a tensão em um circuito elétrico, podemos mudar o valor de base da tensão. Se os valores de potência de um transformador mudam em relação ao outro, também podemos alterar os valores de potência, fazendo com que o circuito possa ter dois ou três valores de tensão e potência aparente de base, utilizados como referência.

Princípio de Mudança de Base

Robba et al. (2000, p. 144) esclarecem que o procedimento para obtermos um valor em uma nova base, “sempre deverá ser determinar através do valor de grandeza, multiplicando seu valor em pu pela base na qual foi dado e, posteriormente, dividindo esse valor pela nova base”.

Deste modo, suponhamos que v, s, i e z, respectivamente, são os valores concernentes à tensão, à potência, à corrente e à impedância, valores dados em pu para uma dada base chamada de V_base e S_base. Logo, queremos obter os valores de v₁, s₁, i₁ e z₁ dados em uma nova base chamada de V_base1, S_base1, I_base1 e Z_base1.

Para calcularmos a tensão, o valor da tensão v₁, na nova base, teremos que realizar a seguinte operação matemática:

v\(_1\) = \(\frac{V}{{{V}_{base1}}}\)= v \(\frac{{{V}_{base}}}{{{V}_{base1}}}\)        (Equação 1.11)

Para a potência aparente, o valor da potência aparente s\(_1\), na nova base, será dado por:

s\(_1\) = \(\frac{S}{{{S}_{base1}}}\)= s \(\frac{{{S}_{base}}}{{{V}_{base1}}}\)        (Equação 1.12)

Para a corrente, o valor da corrente i\(_1\), na nova base, será dado por:

i\(_1\) = \(\frac{I}{{{I}_{base1}}}\)= i \(\frac{{{S}_{base1}}}{{{V}_{base1}}}\) = i \(\frac{{{V}_{base1}}}{{{V}_{base}}}\) \(\frac{{{S}_{base}}}{{{S}_{base1}}}\)        (Equação 1.13)

Para a impedância, teremos:

z\(_1\) = \(\frac{Z}{{{Z}_{base1}}}\)= z \(\frac{{{\left( {{V}_{base}} \right)}^{2}}}{{{S}_{base}}}\frac{{{S}_{base1}}}{{{\left( {{V}_{base1}} \right)}^{2}}}\)= z \(\frac{{{S}_{base1}}}{{{S}_{base}}}{{\left( \frac{{{V}_{base}}}{{{V}_{base1}}} \right)}^{2}}\)        (Equação 1.14)

A título de exemplificação, estudaremos um exemplo a seguir, visando facilitar o nosso entendimento sobre essa teoria.

Agora, vamos estudar a resistência. O valor da resistência é obtido através da divisão do valor da tensão (V) pela corrente que circula no cabo (I), ou seja:

R = \(\frac{V}{I}\)        (Equação 1.15)

Onde:

• R é a resistência (dada em Ohms e simbolizada por Ω, letra grega ômega maiúsculo);
• V é a tensão dada em Volt (V);
• I é a corrente dada em Ampère (A).

A constante de proporcionalidade é o valor do resistor. Os resistores dissipam a energia elétrica na forma de calor e não modificam a forma de onda da tensão em relação à corrente. Por outro lado, a resistência elétrica é determinada pela facilidade que o material, neste caso chamado de condutor, tem para conduzir a corrente elétrica (o material apresentará uma baixa resistência à passagem da corrente).

Além disso, a potência é transportada em altas tensões para podermos diminuir as perdas ôhmicas causadas pelo efeito Joule. A potência é dada pelo produto da tensão e pela corrente, P = V x I. Já as perdas ôhmicas são calculadas por:

P\(_{\text{perdas}}\) = R. I²        (Equação 1.16)

Nesse caso, a resistência é multiplicada pela corrente elevada ao quadrado. Logo, quanto maior for a tensão, menor será a corrente e, consequentemente, menores serão as perdas ôhmicas. Como P é constante, se aumentarmos a tensão, diminuímos a corrente.

Essa resistência é, muitas vezes, chamada de resistência em CC, pois consideramos que a distribuição de corrente no condutor seja uniforme, como ocorre nas correntes contínuas. Dessa forma, podemos obter a resistência em CC também pela fórmula:

R\(_{CC}\) = \(\frac{\rho ~x~l}{S}\)        (Equação 1.17)

Sendo que:

• l é o comprimento do condutor ou da linha (dado em m);
• S é a área da seção transversal do condutor (m²);
• 𝜌 é a resistividade do material utilizado (Ω. m);

A resistividade padronizada para um condutor é o cobre recozido. Dessa maneira, para outros processos metalúrgicos, podemos estabelecer uma correspondência entre suas resistividades — cobre e alumínio, que são padronizados conforme os exemplos a seguir.

No processo de encordoamento, os fios descrevem uma trajetória helicoidal em torno do centro do condutor. Levando-se em conta, ainda, que os cabos sofrem uma deformação provocada pelo seu peso, o comprimento real é um pouco maior que a extensão da linha. A resistência em CC de condutores encordoados é maior do que o valor computado pela equação (1.17), pois o encordoamento helicoidal das camadas torna os condutores mais longos do que o próprio cabo. Para cada quilômetro de cabo, a corrente em todas as camadas, exceto a central, percorre mais de um quilômetro de condutor. Estima-se em 1% o aumento da resistência, devido ao encordoamento em cabos de três fios, e em 2% para cabos com fios concêntricos. A Figura 1.5 ilustra a flecha formada pelas linhas de transmissão.

Variação da Resistência com a Temperatura

Quando uma CC percorre o condutor, a resistência tem uma variação linear com a temperatura. Essa variação assemelha-se a uma reta, logo, é chamada de linear. Um método muito utilizado, na prática, para podermos corrigir a variação de temperatura com o valor da resistência fornecido nos datasheets (folha de dados dos equipamentos) é obtido através da fórmula:

\(\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}\)= \(\frac{T~+~{{t}_{2}}}{T~+~{{t}_{1}}}\)        (Equação 1.18)

Onde:

• R\(_1\) e R\(_2\) são as resistências do condutor às temperaturas T\(_1\) e T\(_2\), respectivamente, em ºC. Além disso, T é a constante determinada pelo gráfico. Os valores da constante T são padronizados e dados por:
  • T = 234,5 ºC para cobre recozido com 100% de condutividade;
  • T = 241,0 ºC para cobre têmpera dura com 97,3% de condutividade;
  • T = 228,0 ºC para alumínio têmpera dura com 61% de condutividade;

O gráfico, representado pela equação (1.18), pode ser visto na Figura 1.6, que mostrará a resistência do cobre recozido, variando conforme a temperatura.

Quando o condutor está submetido a uma CC, a distribuição da corrente será uniforme por todo o cabo. Em contrapartida, na corrente alternada (CA), a distribuição será concentrada nas extremidades. Com base nessa afirmativa, conclui-se que a corrente provoca uma densidade não uniforme e, à medida que a sua frequência aumenta, acentua-se a não uniformidade da distribuição em corrente alternada. Esse fenômeno é chamado de efeito pelicular.

Valores Tabelados

Os fabricantes dos cabos, utilizados em linhas de transmissão, fornecem uma folha de dados (datasheet) com todas as informações dos cabos em seus sites.

Agora, vamos fazer um exercício de fixação, colocando a equação (1.18) em prática.

Agora, vamos estudar a indutância. Podemos resumir, de uma maneira bem simples, os principais parâmetros de uma linha de transmissão, além de suas linhas — modeladas através dos resistores, dos indutores e dos capacitores.

O indutor está diretamente envolvido com o campo magnético. A unidade responsável pelo indutor é nomeada Henry (representado pela letra H). Esse componente altera a relação entre a corrente e a tensão, atrasando a corrente 90º em relação à tensão. Na Figura 1.8, podemos ver essa relação graficamente.

Vale ressaltar que os indutores são sempre representados por sua reatância indutiva, dada por:

X\(_L\) = 2 𝜋 f L        (Equação 1.19)

Sendo f a frequência do sistema (Hz) e L o valor do indutor (H). A reatância será sempre dada em Ohm (Ω).

Cálculo do Parâmetro de Indutância

As linhas de transmissão são formadas por cabos singelos ou múltiplos, fabricados a partir do cobre, do alumínio ou de ligas de alumínio. Esses elementos são encarregados de transportar a energia elétrica das usinas de geração até os centros de consumo. As linhas funcionam como as ruas de uma cidade, algumas são mais largas e comportam mais carros, como as avenidas, outras são mais estreitas, como as ruas de mão única. Da mesma forma que se formam congestionamentos nas cidades, uma linha de transmissão pode ficar congestionada, ou seja, poderá não conseguir transportar mais energia caso chegue ao seu limite de potência ou ao seu limite térmico.

A impedância da linha é um dos parâmetros que devemos considerar no cálculo da capacidade da linha ao transmitir potência e, consequentemente, será utilizado na definição de tensão da operação. A indutância depende do comprimento da linha: quanto mais longas as linhas, maiores serão suas indutâncias.

O indutor é o responsável pelo armazenamento da energia em um campo magnético. Quando a corrente em um circuito sofre uma variação, o fluxo magnético, que envolve este circuito, também varia e gera uma força eletromotriz induzida — que exerce uma função proporcional à força e possui relação direta com a taxa de variação da corrente em relação ao tempo. A essa constante proporcionalidade damos o nome de indutância do circuito. A indutância é dada por:

v (t) = L \(\frac{di~\left( t \right)}{dt}\)        (Equação 1.20)

Onde L é a indutância dada em Henry (o símbolo é a letra H).

Todos os equipamentos responsáveis pela realização do trabalho, a partir da energia elétrica, além de não possuírem como característica principal a produção de calor, como os resistores, são constituídos por indutores. Os motores, os geradores e os transformadores são constituídos por indutores. Se estivéssemos considerando uma bobina, também chamada de solenoide, a maior parte do fluxo produzido enlaçaria mais de uma espira, como pode ser visto na Figura 1.9.

A equação (1.19) nos mostra que a indutância ocorre em função da frequência, já que = 𝜔 = 2 𝜋 f. No Brasil, a frequência é igual a 60 Hz. A indutância mútua entre os dois circuitos é definida como o fluxo que surge em um circuito (nesse caso, representado pela linha) devido a corrente no outro circuito (dada em Ampère). Se a corrente I\(_1\) produz, no circuito 2, o fluxo concatenado 𝜳12, a indutância mútua será

M\(_{12}\) = M\(_{21}\) = \(\frac{{{\psi }_{12}}}{{{I}_{2}}}\)(H)        (Equação 1.21)

Diferenciamos a representação entre indutâncias em próprias e mútuas. As primeiras são representadas pela letra L e a segunda pela letra M, ou em uma matriz representada pela letra Z, de impedância. Por conseguinte, as indutâncias próprias são representadas pelos números ii e as mútuas ij ou ji, sendo que ij significa a indutância mútua entre as linhas i e j. O contrário é representado pelo número ji.

Fluxo Concatenado em um Condutor

Você já ouviu falar sobre fluxo concatenado em um condutor? Imagine um condutor infinito (com um dos circuitos em uma linha de transmissão trifásica) que percorre uma corrente através do campo elétrico. Você concorda que haverá um deslocamento da corrente que, por conseguinte, gerará uma diferença de potencial (tensão)? Pois bem, a indutância é a principal responsável por esse deslocamento.

Esse fluxo pode ser decomposto por dois componentes: um externo e outro interno. A força magnetomotriz (fmm), em Ampère-espira, ao longo de qualquer contorno, é dada pela Equação de Maxwell, que calcula a força na seção transversal do condutor e, em sequência, nos informa se essa força é igual a corrente que atravessa a área. Portanto:

fmm = \(\mathop{\oint }_{{}}^{{}}H~ds\) = I        (Equação 1.22)

Onde:

• H é a intensidade do campo magnético, em Ae/m, além de ser componente tangencial à superfície circular;
• s é o comprimento da superfície circular, em m;
• I é a corrente (pode ser corrente CC ou CA), em A.

Em termos de fluxo magnético, teremos o mesmo raciocínio, ou seja, a x metros do centro do condutor, a densidade de fluxo magnético, dada pela letra B no ponto x, poderá ser calculada pela fórmula.

B\(_x\) = 𝜇 H\(_x\) = \(\frac{\mu ~x~I}{2~\pi ~{{r}^{2}}}\)(Wb/m²)        (Equação 1.23)

Onde: 𝜇 é a permeabilidade do condutor. No Sistema Internacional (SI), a permeabilidade do vácuo é 𝜇\(_0\) = 4 𝜋 x 10\(^{-7}\) H/m e a permeabilidade relativa é r = 𝜇 /𝜇\(_0\).

Os cálculos feitos se referem a uma unidade de comprimento do condutor, ou seja, as indutâncias também serão expressas em valores por unidades de comprimento.

Para uma permeabilidade relativa unitária, 𝜇 = 4 𝜋 x 10\(^{-7}\) H/m, teremos:

L\(_{\text{int}}\) = \(\frac{\mu ~}{8~\pi ~}\)= \(\frac{1}{2~}\)x 10\(^{-7}\) H/m        (Equação 1.24)

Esse valor é a indutância, resultante do fluxo interno (para condutores cilíndricos) em unidade de comprimento.

A indutância é devida apenas no fluxo entre os pontos P\(_1\) e P\(_2\) (que representam as linhas 1 e 2, retratada pela Figura 1.10). Logo:

L\(_{12}\)= 2 x 10\(^{-7}\) ln \(\frac{{{D}_{2}}}{{{D}_{1}}}\) H/m        (Equação 1.25).

O valor da indutância dependerá das distâncias D\(_1\) e D\(_2\). Para evitar esse trabalho matemático, foi criado o conceito de raio reduzido de um condutor, ou seja, um condutor conduz a mesma corrente que o condutor original de raio R e, ao mesmo tempo, produz o mesmo fluxo concatenado. A indutância do circuito será devida à corrente no condutor 1, determinada pela equação (1.25). Sendo assim, substitui-se D2 pela distância D e D1 pelo raio r1, do condutor 1. Analisando o fluxo externo, temos:

L\(_{12}\)= 2 x 10\(^{-7}\) ln \(\frac{D}{r}\) H/m        (Equação 1.26)

Como o fluxo interno é fixo, e dado pela equação (1.24), a indutância total do circuito será dada através da soma das equações (1.26) e (1.24).

L\(_1\)= \(\left( \frac{1}{2}+~2~ln~\frac{{{D}_{{}}}}{{{r}_{1}}} \right)\) x 10\(^{-7}\) H/m        (Equação 1.27)

Resolvendo e simplificando a equação, temos:

L\(_1\)= 2 x 10\(^{-7}\) ln \(\frac{D}{r_{1}^{'}}\) H/m        (Equação 1.28)

O raio \(r_{1}^{'}\) corresponde a um condutor fictício, sem fluxo interno, porém com a mesma indutância do condutor real, de raio r\(_1\). A constante 𝜀-¼ é igual a 0,7788. O mesmo raciocínio é válido para o circuito 2, que está atrasado em 180º (pois um circuito é retorno do outro). Outrossim, baseado na equação (1.28), a indutância da corrente no condutor 2 será dada por:

L\(_2\)= 2 x 10\(^{-7}\) ln \(\frac{D}{r_{2}^{'}}\) H/m        (Equação 1.29)

Se somarmos L\(_1\) e L\(_2\), obteremos a indutância L deste circuito.

L = L\(_1\) + L\(_2\) = 4 x 10\(^{-7}\) ln \(\frac{D}{\sqrt{r_{1}^{'}~r_{2}^{'}}}\) H/m        (Equação 1.30)

Adotando = \(r_{1}^{'}\)= \(r_{2}^{'}\) = r’, teremos:

L= 4 x 10\(^{-7}\) ln \(\frac{D}{{{r}'}}\) H/m        (Equação 1.31)

A equação (1.31) calcula a indutância em uma linha de dois condutores, adotando-se um cabo como retorno do outro. Denominamos essa indutância como indutância por metro de linha ou indutância por milha de linha, para diferenciar da indutância de um circuito. A última, que é dada pela equação (1.28), vale a metade da indutância total de uma linha monofásica, também chamada de indutância por condutor. Deste modo, resolveu-se a indefinição matemática das distâncias D\(_1\) e D\(_2\) e o raio, intitulado raio reduzido de um condutor.

Fluxo Concatenado em Linhas Trifásicas

Vamos analisar, agora, o fluxo concatenado em linhas trifásicas. Mas, primeiramente, devemos lembrar que a soma das correntes em uma linha trifásica é igual a zero. Considerando os condutores 1, 2, 3, as correntes fasoriais I\(_1\), I\(_2\) e I\(_3\) e suas distâncias afastadas de um ponto P qualquer, adotado como referência, dada por D\(_{1P}\), D\(_{2P}\), D\(_{3P}\), determinaremos 𝜳\(_1\), como fluxo concatenado do condutor 1, através da equação:

𝜳\(_1\) = 2 x 10\(^{-7}\) \(\left( {{I}_{1}}~ln~\frac{1}{r_{1}^{'}}~+~{{I}_{2}}~ln~\frac{1}{{{D}_{12}}}~+~{{I}_{3}}~ln~\frac{1}{{{D}_{13}}}~+{{I}_{n}}~ln~\frac{1}{{{D}_{1n}}} \right)\) Wbe/m        (Equação 1.32)

Stevenson, em seu livro “Elementos de Análise de Sistemas de Potência” nos recorda que:

O afastamento do ponto P a uma distância infinitamente grande do conjunto de condutores é equivalente à inclusão de todo o fluxo concatenado com o condutor 1. Se as correntes fossem alternadas, o fluxo concatenado instantâneo seria obtido através dos valores instantâneos das correntes e o fluxo concatenado na forma de fasores, com os raios representados pelos valores complexos das correntes (STEVENSON, 1986, p. 55).

Tabela de Fabricantes

Normalmente, são disponibilizadas as tabelas de valores de RMG (Raio Médio Geométrico) dos condutores encordoados. Nessas tabelas, podemos, também, encontrar valores que nos permitirão calcular a reatância indutiva e a capacitiva, além do novo valor de resistência CC, variando com a temperatura. Além do mais, as tabelas fornecem o valor da resistência CA como parâmetro. Entretanto, algumas tabelas utilizam as unidades em pés, polegadas e milhas. Por outro lado, outras utilizam quilômetros e metros. A reatância indutiva é muito mais utilizada que a indutância, pois temos que considerar a influência da frequência, e sua fórmula é dada por:

X\(_L\) = 2 𝜋 f L = 2 𝜋 f 2 x 10\(^{-7}\) \(~ln~\frac{{{D}_{m}}}{{{D}_{s}}}\)= 4 𝜋 f 10\(^{-7}\) \(~ln~\frac{{{D}_{m}}}{{{D}_{s}}}\) ou X_L = 2,022 10^-3 f\(~ln~\frac{{{D}_{m}}}{{{D}_{s}}}\)        (Equação 1.33)

Onde: D\(_m\) é a distância média entre condutores e D\(_s\) é a distância dada pelo raio médio geométrico de cada condutor

As unidades de D\(_m\) e D\(_s\) devem ser as mesmas, normalmente metros ou pés. Desse modo, os valores do raio médio geométrico, chamado de RMG e fornecido através das tabelas dos fabricantes de cabos, podem ser considerados como os valores para D\(_s\) (já adequado ao efeito pelicular provocado pela corrente CA). O efeito pelicular vai alterar o valor da indutância, além de ser maior nas frequências mais altas, para qualquer diâmetro de condutor.

Os valores de D\(_s\), exemplificados no Quadro 1.2, são calculados para frequência de 60 Hz.

Indutância de Linhas Trifásicas com Espaçamento Simétrico

A corrente no condutor neutro é igual a zero, pois I\(_a\) + I\(_a\) + I\(_c\) = 0. Isso nos permite utilizar as equações obtidas, até este momento, para linhas trifásicas, caso as linhas sejam simétricas e equilibradas. Podemos calcular o fluxo concatenado envolvendo uma linha de transmissão, representada pela fase através da equação (1.32). Para que isso ocorra, basta substituirmos os circuitos dados: 1, 2 e 3, pelas letras a, b e c — para nos referirmos às linhas de transmissão das fases A, B e C. Logo:

L\(_a\) = 2 x 10\(^{-7}\) I\(_a\) ln \(\frac{D}{{{D}_{s}}}\) H/m        (Equação 1.34)

A equação (1.34) é análoga à equação (1.29), a única diferença é uma mudança feita em r’, substituído por D\(_s\). Linhas de transmissão são projetadas e construídas para preservarem sua simetria, pois os cabos utilizados na implantação das linhas têm o mesmo material, fazendo com que as linhas tenham os mesmos valores de parâmetros. Se adotássemos uma simplificação, considerando que a linha seja construída apenas com um condutor por fase, as indutâncias das fases A, B e C, de uma linha trifásica, poderiam ser calculadas pela equação (1.34).

Indutância de Linhas Trifásicas com Espaçamento Assimétrico

O cálculo da indutância se torna mais difícil caso a linha de transmissão utilize um espaçamento diferente ou irregular entre os seus condutores. Esse espaçamento é, muitas vezes, denominado como assimétrico. Para essa topologia, os valores do fluxo concatenado e os valores da indutância de fase mútua são calculados de forma diferente. O circuito se torna desequilibrado porque cada fase apresenta um valor de indutância diferente. Para restaurarmos o equilíbrio, trocamos a posição entre as fases, com intervalos regulares que variam entre 200 m e 600 m — distância utilizada como referência para linhas longas. Esse rearranjo é chamado de transposição de fases e está representado na Figura 1.11. A transposição é uma maneira eficiente de obtermos novamente os mesmos valores de indutância para as fases A, B e C das linhas de transmissão.

O valor médio da soma dos três fluxos concatenados com a é:

𝜳\(_a\) = \(\frac{{{\psi }_{a1}}~+~{{\psi }_{a2}}~+~~{{\psi }_{a3}}~}{3}\) = \(\frac{2~x~{{10}^{-7}}}{3}\left( 3~{{I}_{a}}~ln~\frac{1}{{{D}_{s}}}~+~{{I}_{b}}~ln~\frac{1}{{{D}_{12}}~{{D}_{23}}~{{D}_{31}}}~+~{{I}_{c}}~ln~\frac{1}{{{D}_{12}}~{{D}_{23}}~{{D}_{31}}}~ \right)\) Wbe/m        (Equação 1.35)

O que resulta na indutância média das três fases, representadas por:

L\(_a\) = L\(_b\) = L\(_c\) = 2 x 10\(^{-7}\) ln \(\frac{{{D}_{eq}}}{{{D}_{s}}}\) H/m        (Equação 1.36)

Onde:

Deq = \(\sqrt[3]{{{D}_{12}}~{{D}_{23}}~{{D}_{31}}}\)        (Equação 1.37)

Sendo D\(_s\) o RMG do condutor.

Comparando as equações (1.36) e (1.34), verificamos que D\(_{\text{eq}}\), é a média geométrica dos valores das distâncias entre as três linhas, fato que pode ser comprovado devido à transposição dos cabos e das linhas.

Podemos notar um termo recorrente entre todas as equações. Esse termo é: 2 x 10\(^{-7}\), quando a indutância é dada em H/m. Stevenson afirma que:

O termo D\(_s\) é denominado RMG do condutor, ou seja, o Raio Médio Geométrico. O termo D\(_{\text{eq}}\) é o DMG, ou Distância Média Geométrica. Esses valores são retirados de uma linha imaginária de mesma característica simétrica e equilibrada, que fará a mesma função da linha assimétrica e desequilibrada, para que possamos ter mais facilidade com a matemática (STEVENSON, 1986, p. 63).

As linhas, em sua grande maioria, são representadas pela sua impedância (em Ω/km). A impedância é formada por um resistor em série através de um indutor, visto que esses dois parâmetros representam a maioria dos efeitos da perda de energia, que ocorre nos equipamentos de transmissão.